2015年同等学力计算机综合模拟(4)

2014-12-18 12:11:34来源：网络

　　1. 证明或推翻下列命题：“设平面上有 100 个点，其中任意两点间的距离至少是1，则最多有300 对点距离恰好是1”。

　　解答与评分标准：

　　命题成立(2 分)。

　　无向图 G=，V 是平面上的这100 个点，两个点相邻当且仅当这两点距离恰好是1(2 分)。

　　每个顶点的度数不超过 6(3 分)。

　　根据握手定律(3 分)，

　　2|E|=顶点度数之和≤100*6, 所以这个图的边数不超过300(2 分)。

　　2. 所谓 n 维网格就是一个无向图G=，其中V={ | 1≤ij≤mj,1≤j≤n}，E={(v1,v2)| v1 和v2 恰好只在一个坐标上相差1}。讨论当mj 和n 取哪些正整数值时，G 是哈密　　顿图，并给出证明。

　　解答与评分标准：

　　分情况讨论。注意 G 的顶点数是m1*m2*m3*…*mn。

　　(1) 所有mj 都为1：G 是平凡图，是哈密顿图(2 分)。

　　(2) 恰好有一个mj 大于1：G 是长度大于1 的初级路径，不是哈密顿图(2 分)。

　　(3) 至少有两个mj 大于1：G 是偶图(无奇数长度回路)(2 分)。

　　(3a) m1*m2*m3*…*mn 是偶数：G 是哈密顿图，用归纳法构造哈密顿回路(2 分)。

　　(3b) m1*m2*m3*…*mn 是奇数：G 不是哈密顿图，偶哈密顿图两部分顶点数相等，总顶点数是偶数(2 分)。

　　3. 证明或推翻下列命题：“任意给定平面上有限个点，则连接这些点的最短

　　哈密顿回路的长度不超过连接这些点的最小生成树(不添加额外顶点)的

　　长度的2 倍。子图的长度就是这个子图上的边的长度之和。”

　　解答与评分标准：

　　命题成立(2 分)。

　　(课本图论部分最后一章定理)先求最小生成树奇数度顶点之间的“最小”匹配，加入匹配“边”得到欧拉图(3 分)。

　　沿着欧拉回路前进，“抄近路”避开已经访问过的顶点，就得出哈密顿回路(3 分)。

　　由于距离的三角形不等式，这条哈密顿回路长度不超过最小生成树长度的2 倍(2 分)。

本文选自新东方在线论坛。

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