2015-08-19 16:29:07 来源:网络发表评论
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11、设有一个均匀的陀螺,其圆周的一半上均匀地刻上区间[0,1)上的诸数字,另一半上均匀地刻上区间[1,3)上的诸数字。旋转这陀螺,求它停下来时其圆周上触及桌面的点的刻度位于[1/2,3/2]上的概率。
【思路】设陀螺触及桌面的点的刻度落在[0,1)、[1,3]、[1/2,1)、[1,3/2]上的概率分别为p(01),p(13),p1,p2,则:
p(01)=p(13)=1/2, p1=p(01)*p(1)|p(01)=1/2*[(1-1/2)/(1-0)]=1/4同理 p2=1/2*[(3/2-1)/(3-1)]=1/8 p=1/4+1/8=3/8
12、设某家庭有3个孩子,在已知至少有一个女孩的条件下,求这个家庭中至少有一个男孩的概率。
【思路】设A为三人中至少有一个女孩,B为已知三人中有一个女孩另外至少有一个男孩;P(A) =1-(1/2)*(1/2)*1/2=7/8 , P(AB)=1-(1/2)*(1/2)=3/4,所以 P(B|A) = P(AB)/P(A) = 6/7。
(这样分析是认为三个孩子是排序的,一男二女就包括 bgg,gbg,ggb 三种情况,总共有八个样本,这比抛硬币难理解一些)
13、求极限部分不能正常显示,想要具体复习资料可以到清华版教材和相关复习资料。
14、求极限:lim(1-1/2*2)(1-1/3*3)…(1-1/n*n) (n趋于正无穷);
【思路】lim(1-1/2*2)(1-1/3*3)…(1-1/n*n)n->正无穷=lim(1-1/2)(1+1/2)(1-1/3)(1+1/3)…..(1-1/n)(1+1/n)=lim1/2 * 3/2 *2/3 * 4/3……* (n-1)/n * (n+1)/n=lim(n+1)/2n=1/2
15、如果数列{An}中,A1=1,且An+1=2nAn(n=1,2,…),则{An}的通项公式An=?
【思路】An+1=2nAn => An+1/An=2n =>
A2/A1=2 , A3/A2=2^2 …..
(A2/A1)*(A3/A2)*……*( An /An-1)=2 22…… 2n-1=> An /A1=2 (1+2+…+n-1)=2n(n-1)/2=>An=2n(n-1)/2
16、设有4只坏,每只都能以同样的落入4个格子中的任一个,求前2个球落入不同格子中的概率。
【思路】分别设四球为1号, 2号,3号和4号1号球落入某个格子有4种可能,那么2号球就只有3种可能3号4号可落入4个格子中的任意,有4,4种可能所以应为4*3*4*4/44
17、甲,乙二人同时同地绕400米跑道赛跑,甲速度每秒比乙快3米,知甲跑三圈后第一次赶上乙,求乙速度.( 6s/m)【思路】3*400/(V+3) = 2*400/V 得V=6 (m/s)已知f(xy)=f(x)+f(y)且f’(1)=a,x≠0,求f’(x)=? (答案为a/x)【思路1】原方程两边对Y进行求偏导xf’(xy)=f’(y) 其中f’(xy)与f’(y)都是对y偏导数xf’(x*1)=f’(1)=a 得 f’(x)=a/x【思路2】当⊿x→0时,令x+⊿x=xz则z=(1+⊿x/x)由f’(x)=[f(x+⊿x )-f(x)]/ ⊿x={f[x(1+⊿x/x)]-f(x)}/⊿x=[f(x)+f(1+⊿x/x)-f(x)]/⊿x=f(1+⊿x/x)/⊿x =f’(1)/x=a/x
18、已知函数f(x+y,x-y)=x2-y2, 则f对x的偏导数加f对y的偏导数等于? (a)2x-2y (b)x+y【思路1】设U=x+y,v=x-yf(u,v)=uvf’x=f’u*u’x+f’v*v’x=v*1+u*1=u+vf’y=f’u*u’y+f’v*v’y=v-uf’x+f’y=u+v+v-u=2v=2(x-y)=2x-2y 选A【思路2】由已知f(x+y,x-y)=(x+y)(x-y),
令u=x+y, v=x-y, 则f(u,v)=uv,于是f(x,y)=xy,故答案为(b).
结论:b应该是对的,复合函数是相对与自变量而言的,自变量与字母形式无关,参见陈文灯的考研书。
19、已知方程7x2-(k+13)x+k2-k-2=0的两个实根分别在区间(0,1)和(1,2)内,则k的取值范围是什么?答案为(-2,-1)U(3,4)
【思路】画图可得f(0)>0,f(1)<0,f(2)>0代入计算即可A,B是一次随机实验的两个事件,则————A. A-(B-A)=A-B B. A-(B-A)=A
【思路】b,利用定义可得
20、设X是连续型随机变量,其分布函数是F(X),如果EX存在,则当x->+∞时,1-F(x)是1/x的___。
A、等价无穷小
B、高价无穷小
C、低价无穷小
D、同价无穷小
【思路】由于EX存在,xf(x)的无穷积分收敛且为1/x的高阶无穷小;因为函数g(x)=1/x的无穷积分积分不收敛可知,由比较判别法可知,如果为同阶或低阶无穷小,则xf(x)不收敛。
21、设有编号为1,2,3,…,n的n个求和编号为1,2,3,…,n的n个盒子。现将这n个球放入n个盒子内,要求每个盒子内放一个球,并且恰好有2 个球的编号和盒子的编号相同,则这样的投放方法的总数为?
【思路】任给2 个球的编号和盒子的编号相同,则剩下n-2个球没有一个编号相同;而剩下n-2个球没有一个编号相同的概率为1/2!-1/3!+…+(-1)^(n-2)/(n-2)!;[注意:上面用到了这n个球放入n个盒子内,要求每个盒子内放一个球,至少有一个球的编号和盒子的编号相同的概率为1-1/2!+1/3!-…+(-1)^(n-1)/n!;]故恰好有2 个球的编号和盒子的编号相同的概率为(1/2!-1/3!+…+(-1)^(n-2)/(n-2)!);给定2个球的编号和盒子的编号相同后可能的投放方法为(n-2)!*(1/2!-1/3!+…+(-1)^(n-2)/(n-2)!).
n个球中任取两个的可能取法为C(2,n);2者相乘得出:恰好有2 个球的编号和盒子的编号相同,的投放方法的总数为C(2,n)*(n-2)!*(1/2!-1/3!+…+(-1)^(n-2)/(n-2)!)=(n!/2)!*(1/2!-1/3!+…+(-1)^(n-2)/(n-2)!).
当n趋于无穷大时,取法为(n!/2)*[e^(-1)];
【思路】如果以m代替2,通解为C(m,n)*(n-m)!*(1/2!-1/3!+…+(-1)^(n-m)/(n-m)!)
注:机工版P52页21题如下:
设有编号为1,2,3,4,5的5个求和编号为1,2,3,4,5的5个盒子。现将这5个球放入这5个盒子内,要求每个盒子内放一个球,并且恰好有2 个球的编号和盒子的编号相同,则这样的投放方法的总数为?
取n=5;取法为(5!/2)*(1/2!-1/3!)=20库房有十箱零件(每箱都有许多),有6箱用新工艺做的,全合格。其余用旧工艺完成,75%的合格率。现随机打开一箱取出三个,检查其中一个为合格品,求另外两个也合格的概率。
(答案为41/41=0.85)
【思路1】Ai=正品 (i=1,2,3) B=新工艺 C=旧工艺P(B)=0.6 P(A/B)=1 P(C)=0.4 P(A/C)=3/4所求:P(A2*A3/A1)=P(A1*A2*A3)/P(A1)P(A1)=P(B)P(A1/B)+P(C)P(A1/C)=0.9P(A1*A2*A3)=P(B)P(A1*A2*A3/B)+P(C)P(A1*A2*A3/C)=0.6+0.4*(3/4)3P(A2*A3/A1)=P(A1*A2*A3)/P(A1)=41/48
本文选自新东方在线论坛。
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