2014年GCT数学日常练习(2)

　　1.某种产品分为一等品、二等品和不合格品三种，若在一批产品中，一等品与二等品之比为5:3，二等品和不合格品之比为4:1，则这批产品的合格率为( )。

　　A.90% B.91.4% C.93.1% D.94%

　　2、某中学从高中7个班中选出12名学生组成校代表队，参加市中学数学应用题竞赛活动，使代表中每班至少有1人参加的选法共有多少种?

　　3、在10个信箱中已有5个有信，甲、乙、丙三人各拿一封信，依次随便投入一信箱。求：

　　(1)甲、乙两人都投入空信箱的概率。

　　(2)丙投入空信箱的概率。

　　4、设A是3阶矩阵，b1=(1,2,2)的转置阵，b2=(2,-2,1)的转置阵，b3=(-2,-1,2)的转置阵，满足Ab1=b1,Ab2=2b2,Ab3=3b3,求A.

　　5、已知P(A)=X,P(B)=2X,P(C)=3X且P(AB)=P(BC),求X的最大值。

　　答案：

　　1、【解析】假设一等品有5个。那么二等品就是3个，由于二等品和不合格品之比为4:1，所以不合格品有3/4个。因此这批产品的合格率为(5+3)÷(5+3+3/4)=32/35︽91.4%。

　　2、【思路1】剩下的5个分配到5个班级。c(5,7)

　　剩下的5个分配到4个班级。c(1,7)*c(3,6)

　　剩下的5个分配到3个班级。c(1,7)*c(2,6)+c(2,7)*c(1,5)

　　剩下的5个分配到2个班级。c(1,7)*c(1,6)+c(1,7)*c(1,6)

　　剩下的5个分配到1个班级。c(1,7)

　　所以c(5,7)+c(1,7)*c(3,6)+c(1,7)*c(2,6)+c(2,7)*c(1,5)+c(1,7)*c(1,6)+c(1,7)*c(1,6)+c(1,7)=462

　　【思路2】C(6,11)=462

　　3、【思路】

　　(1)A=甲投入空信箱，B=乙投入空信箱，P(AB)=C(1,5)*C(1,4)/(10*10)=1/5

　　(2)C=丙投入空信箱，P(C)=P(C*AB)+P(C* B)+P(C*A )+P(C* )=(5*4*3+5*5*4+5*6*4+5*5*5)/1000=0.385

　　4、【思路】可化简为A(b1,b2,b3)‘= (b1,b2,b3)′

　　5、【思路】P(BC)=P(AB)=P(A)=X

　　P(BC)=P(AB)小于等于P(A)=X

　　P(B+C)=P(B)+P(C)-P(BC)大于等于4X

　　又因为P(B+C)小于等于1

　　4X小于等于1，X小于等于1/4

　　所以X最大为1/4