2014年工程硕士GCT数学辅导(5)

　　1、设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知取出的两件中有一件不合格品，求另一件也是不合格品的概率。(0.2)

　　【思路】在”已知取出的两件中有一件不合格品”的情况下，另一件有两种情况(1)是不合格品,即一件为合格品,一件为不合格品(2)为合格品,即两件都是合格品.对于(1),C(1,4)*(1,6)/C(2,10)=8/15;对于(2),C(2,4)/C(2,10)=2/15.提问实际上是求在这两种情况下,(1)的概率,则(2/15)/(8/15+2/15)=1/5

　　2、某人自称能预见未来，作为对他的考验，将1枚硬币抛10次，每一次让他事先预言结果，10次中他说对7次，如果实际上他并不能预见未来，只是随便猜测，则他作出这样好的答案的概率是多少?答案为11/64。

　　【思路】原题说他是好的答案,即包括了7次,8次,9次,10次的概率.即C(710)0.5^7×0.5^3+……C(1010)0.5^10,即为11/64.

　　3、成等比数列三个数的和为正常数K,求这三个数乘积的最小值

　　【思路】a/q+a+a*q=k(k为正整数)由此求得a=k/(1/q+1+q)所求式=a^3,求最小值可见简化为求a的最小值.

　　对a求导,的驻点为q=+1,q=-1.

　　其中q=-1时a取极小值-k,从而有所求最小值为a=-k^3.(mba不要求证明最值)4、掷五枚硬币，已知至少出现两个正面，则正面恰好出现三个的概率。

　　【思路】可以有两种方法：

　　1.用古典概型样本点数为C(3，5)，样本总数为C(2，5)C(3，5)C(4，5)C(5，5)(也就是说正面朝上为2，3，4，5个)，相除就可以了;2.用条件概率在至少出现2个正面的前提下，正好三个的概率。至少2个正面向上的概率为13/16，P(AB)的概率为5/16，得5/13假设事件A：至少出现两个正面;B：恰好出现三个正面。

　　A和B满足贝努力独立试验概型，出现正面的概率p=1/2P(A)=1-(1/2)^5-(C5|1)*(1/2)*(1/2)^4=13/16A包含B，P(AB)=P(B)=(C5|3)*(1/2)^3*(1/2)^2=5/16所以：P(B|A)=P(AB)/P(A)=5/13。

　　5、设有n个球和n个能装球的盒子，它们各编有序号1,2,….n今随机将球分别放在盒子中，每个盒放一个，求两个序号恰好一致的数对个数的数学期望。(答案：1)

　　【思路】1/nn，N个球进N个盒有N的N次方种排列，对号入座只有1种排列。

　　6、若方程x2+p*x+37=0恰有两个正整数解x1,x2,则((x1+1)*(x2+1))/p=?

　　(a)-2,(b)-1(c)-1/2(d)1

　　【思路】题目说有两个正整数的根，故只能是1和37，p=-387、设F(n)=(n+1)n-1(n为自然数),则F(n):

　　(a)只能被n整除(b)能被n*n整除…..

　　【思路】用二项式定理去做第二题，只考虑n的系数，有一个含n的项.系数中还有一个n.答案应为b。

　　8、一张盒子中有4张卡片，其中两张卡片两面都是红色，一张卡片两面都是绿色，一张卡片一面红一面绿。任取其中一张，观察其一面的颜色，如果被观察的一面是绿的，求另一面也是绿色的概论。

　　【思路】设A=被观察的一面是绿的，B=两面都是绿,则需求P(B/A)=P(AB)/P(A)=P(B)/P(A)=1/4：1/2=1/2，所给答案却2/3?

　　9、在房间中有10个人,分别佩戴从1号到10号的纪念章,任选3人记录其纪念章号码,求:(1)最小号码为5的概率，(2)最大号码为5的概率.

　　【思路】最小号码为5的概率：

　　号码5已确定，另外2人的号码应从6、7、8、9、10中选出,所以概率为10/120=1/12同样最大号码为5的概率：

　　号码5已确定，另外2人的号码应从1、2、3、4中选出,所以概率为6/120=1/20

　　10、从5双不同的鞋子中任取4只,求这4只鞋子中至少有两只配成一双的概率是多少?

　　【思路】可以这样理解，先算出没有两只配成一双的情况，然后用1去减一下便可。4只鞋中没有配成一双的情况：10只鞋按配对分成5组，只要每次从一组中取出一只便能保证没有配成双的情况，那么组合数为：10×8×6×4任取4只的组合数为：10×9×8×7所以没有2只配对的概率为：10×8×6×4/10×9×8×7=8/21故至少2只成对的概率为1-8/12=13/21

　　11、设有一个均匀的陀螺，其圆周的一半上均匀地刻上区间[0，1)上的诸数字，另一半上均匀地刻上区间[1，3)上的诸数字。旋转这陀螺,求它停下来时其圆周上触及桌面的点的刻度位于[1/2，3/2]上的概率。

　　【思路】设陀螺触及桌面的点的刻度落在[0，1)、[1，3]、[1/2，1)、[1，3/2]上的概率分别为p(01),p(13),p1,p2,则：

　　p(01)=p(13)=1/2,p1=p(01)*p(1)|p(01)=1/2*[(1-1/2)/(1-0)]=1/4同理p2=1/2*[(3/2-1)/(3-1)]=1/8p=1/4+1/8=3/8

　　12、设某家庭有3个孩子，在已知至少有一个女孩的条件下，求这个家庭中至少有一个男孩的概率。

　　【思路】设A为三人中至少有一个女孩，B为已知三人中有一个女孩另外至少有一个男孩;P(A)=1-(1/2)*(1/2)*1/2=7/8,P(AB)=1-(1/2)*(1/2)=3/4,所以P(B|A)=P(AB)/P(A)=6/7。

　　(这样分析是认为三个孩子是排序的，一男二女就包括bgg,gbg,ggb三种情况，总共有八个样本，这比抛硬币难理解一些)

　　13、求极限部分不能正常显示，想要具体复习资料可以到清华版教材和相关复习资料。

　　14、求极限：lim(1-1/2*2)(1-1/3*3)…(1-1/n*n)(n趋于正无穷);

　　【思路】lim(1-1/2*2)(1-1/3*3)…(1-1/n*n)n->正无穷=lim(1-1/2)(1+1/2)(1-1/3)(1+1/3)…..(1-1/n)(1+1/n)=lim1/2*3/2*2/3*4/3……*(n-1)/n*(n+1)/n=lim(n+1)/2n=1/2

　　15、如果数列{An}中，A1=1,且An+1=2nAn(n=1,2,…),则{An}的通项公式An=?

　　【思路】An+1=2nAn=>An+1/An=2n=>

　　A2/A1=2,A3/A2=2^2…..

　　(A2/A1)*(A3/A2)*……*(An/An-1)=222……2n-1=>An/A1=2(1+2+…+n-1)=2n(n-1)/2=>An=2n(n-1)/2

　　16、设有4只坏，每只都能以同样的落入4个格子中的任一个，求前2个球落入不同格子中的概率。

　　【思路】分别设四球为1号,2号，3号和4号1号球落入某个格子有4种可能，那么2号球就只有3种可能3号4号可落入4个格子中的任意，有4，4种可能所以应为4*3*4*4/44

　　17、甲，乙二人同时同地绕400米跑道赛跑，甲速度每秒比乙快3米，知甲跑三圈后第一次赶上乙，求乙速度.(6s/m)【思路】3*400/(V+3)=2*400/V得V=6(m/s)已知f(xy)=f(x)+f(y)且f’(1)=a,x≠0，求f’(x)=?(答案为a/x)【思路1】原方程两边对Y进行求偏导xf’(xy)=f’(y)其中f’(xy)与f’(y)都是对y偏导数xf’(x*1)=f’(1)=a得f’(x)=a/x【思路2】当⊿x→0时，令x+⊿x=xz则z=(1+⊿x/x)由f’(x)=[f(x+⊿x)-f(x)]/⊿x={f[x(1+⊿x/x)]-f(x)}/⊿x=[f(x)+f(1+⊿x/x)-f(x)]/⊿x=f(1+⊿x/x)/⊿x=f’(1)/x=a/x

　　18、已知函数f(x+y,x-y)=x2-y2,则f对x的偏导数加f对y的偏导数等于?(a)2x-2y(b)x+y【思路1】设U=x+y,v=x-yf(u,v)=uvf’x=f’u*u’x+f’v*v’x=v*1+u*1=u+vf’y=f’u*u’y+f’v*v’y=v-uf’x+f’y=u+v+v-u=2v=2(x-y)=2x-2y选A【思路2】由已知f(x+y,x-y)=(x+y)(x-y),

　　令u=x+y,v=x-y,则f(u,v)=uv,于是f(x,y)=xy,故答案为(b).

　　结论：b应该是对的，复合函数是相对与自变量而言的，自变量与字母形式无关，参见陈文灯的考研书。

　　19、已知方程7x2-(k+13)x+k2-k-2=0的两个实根分别在区间(0，1)和(1，2)内，则k的取值范围是什么?答案为(-2，-1)U(3，4)

　　【思路】画图可得f(0)>0,f(1)<0，f(2)>0代入计算即可A,B是一次随机实验的两个事件，则————A.A-(B-A)=A-BB.A-(B-A)=A

　　【思路】b,利用定义可得

　　20、设X是连续型随机变量，其分布函数是F(X),如果EX存在，则当x->+∞时，1-F(x)是1/x的___。

　　A、等价无穷小

　　B、高价无穷小

　　C、低价无穷小

　　D、同价无穷小

　　【思路】由于EX存在，xf(x)的无穷积分收敛且为1/x的高阶无穷小;因为函数g(x)=1/x的无穷积分积分不收敛可知，由比较判别法可知，如果为同阶或低阶无穷小，则xf(x)不收敛。

　　21、设有编号为1，2，3，…,n的n个求和编号为1，2，3，…,n的n个盒子。现将这n个球放入n个盒子内，要求每个盒子内放一个球，并且恰好有2个球的编号和盒子的编号相同，则这样的投放方法的总数为?

　　【思路】任给2个球的编号和盒子的编号相同,则剩下n-2个球没有一个编号相同;而剩下n-2个球没有一个编号相同的概率为1/2!-1/3!+…+(-1)^(n-2)/(n-2)!;[注意：上面用到了这n个球放入n个盒子内，要求每个盒子内放一个球，至少有一个球的编号和盒子的编号相同的概率为1-1/2!+1/3!-…+(-1)^(n-1)/n!;]故恰好有2个球的编号和盒子的编号相同的概率为(1/2!-1/3!+…+(-1)^(n-2)/(n-2)!);给定2个球的编号和盒子的编号相同后可能的投放方法为(n-2)!*(1/2!-1/3!+…+(-1)^(n-2)/(n-2)!).

　　n个球中任取两个的可能取法为C(2,n);2者相乘得出：恰好有2个球的编号和盒子的编号相同，的投放方法的总数为C(2,n)*(n-2)!*(1/2!-1/3!+…+(-1)^(n-2)/(n-2)!)=(n!/2)!*(1/2!-1/3!+…+(-1)^(n-2)/(n-2)!).

　　当n趋于无穷大时，取法为(n!/2)*[e^(-1)];

　　【思路】如果以m代替2，通解为C(m,n)*(n-m)!*(1/2!-1/3!+…+(-1)^(n-m)/(n-m)!)

　　注：机工版P52页21题如下：

　　设有编号为1，2，3，4，5的5个求和编号为1，2，3，4，5的5个盒子。现将这5个球放入这5个盒子内，要求每个盒子内放一个球，并且恰好有2个球的编号和盒子的编号相同，则这样的投放方法的总数为?

　　取n=5;取法为(5!/2)*(1/2!-1/3!)=20库房有十箱零件(每箱都有许多)，有6箱用新工艺做的，全合格。其余用旧工艺完成，75%的合格率。现随机打开一箱取出三个，检查其中一个为合格品，求另外两个也合格的概率。

　　(答案为41/41=0.85)

　　【思路1】Ai=正品(i=1,2,3)B=新工艺C=旧工艺P(B)=0.6P(A/B)=1P(C)=0.4P(A/C)=3/4所求：P(A2*A3/A1)=P(A1*A2*A3)/P(A1)P(A1)=P(B)P(A1/B)+P(C)P(A1/C)=0.9P(A1*A2*A3)=P(B)P(A1*A2*A3/B)+P(C)P(A1*A2*A3/C)=0.6+0.4*(3/4)3P(A2*A3/A1)=P(A1*A2*A3)/P(A1)=41/48